Треугольником Паскаля называется бесконечная треугольная таблица, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предшествующей строке.
Свойства треугольника Паскаля:
- Сумма чисел n-ной строки (отсчет ведется с нуля) треугольника Паскаля равна 2n. При переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается. Для нулевой строки она равна 20=1.
- Все строки треугольника Паскаля симметричны. Потому что при переходе от каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична.
- Каждое число в треугольнике Паскаля равно 𝐶𝑛𝑘, где n— номер строки, k — номер (отсчет ведется с нуля) элемента в строке.
- Каждое число треугольника Паскаля, уменьшенное на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный диагоналями, на пересечении которых находится этот элемент.
- Если посчитать для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, то получится соответствующее число Фибоначчи. Числами Фибоначчи – последовательность 1,1,2,3,5,8,13,21
- Вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника, выстроены треугольные числа, тетраэдрические числа и т.д.
Треугольными числами называется количество шаров, которые можно выложить в виде равностороннего треугольник Эти числа образуют следующую последовательность: 1,3,6,10,15,21. в которой 1- первое треугольное число, 3- второе треугольное число, 6-третье и т. д.
Тетраэдрическими числами называется количество шаров, которые можно выложить в виде правильного тетраэдра. Эти числа образуют следующую последовательность: 1,4, 10, 20, 36, 56. в которой 1- первое тетраэдрическое число, 4- второе, 10-третье и т. д.
Для нахождения арифметической прогрессии высшего порядка возьмём диагональ 1;10;55;220;715;2002;5005;11440;24310;48620;92378;167960….
Найдём следующий ряд чисел вычитанием из второго числа первого и назовём его последовательность отличий.
1. Последовательность отличий: 9;45;165;495;1287;3003;6435;12870;24310;43758;75582…
Мы заметили, что каждая новая последовательность, которая у нас получалась, была равна предыдущей диагонали.
2. Последовательность отличий: 36;120;330;792;1716;3432;6435;11448;19448;31824…
3. Последовательность отличий: 84;210;462;924;1716;3003;5005;8008;12376…
4. Последовательность отличий: 126;252;462;792;1287;2002;3003;4368…
5. Последовательность отличий: 126;210;330;495;715;1001;1365…
6. Последовательность отличий: 84;120;165;220;286;364…
7. Последовательность отличий: 36;45;55;66;78…
8. Последовательность отличий: 9;10;11;12…
9. Последовательность отличий: 1;1;1…
Последовательность арифметической прогрессии 9-го порядка с d=1
Источники:
https://nauka.club/matematika/treugolnik-paskalya.html
https://ru.wikipedia.org/wiki/Треугольник_Паскаля
https://ruwiki.press/es/Triángulo_de_Pascal
Комментарии
Отправить комментарий